Dans cette thèse en théorie des opérateurs, on s’intéresse aux opérateurs normaux, aux opérateurs autoadjoints, aux opérateurs positifs, à la valeur absolue d’un opérateur, à l’inégalité triangulaire. Cette thèse s’articule autour des relations du type |AB| = |A||B|, |A||B| = |B||A|, |A ± B| ≤ |A| + |B|. Dans la première partie on fournit des définitions et des notions élémentaires en théorie des opérateurs. Après cette introduction, dans ce chapitre on s’intéresse aux opérateurs positifs bornés, à la racine carrée d’un opérateur positif, à la valeur absolue d’un opérateur borné, et on donne des résultats sur l’inégalité triangulaire et d’autres relations concernant la somme et le produit de la valeur absolue dans le cas borné. Dans le dernier chapitre, on s’intéresse au cas des opérateurs non-bornés. On commence d’abord par des définitions et des propriétés primordiales des opérateurs non-bornés, ensuite on donne des résultats sur la somme et le produit de la valeur absolue dans le cas des opérateurs non-bornés. On fournit cette partie par quelques exemples. On obtient, comme conséquence intéressante, une caractérisation de l’inversibilité pour la classe des opérateurs normaux non-bornés. On obtient également une preuve très simple de l’inclusion dans R du spectre des opérateurs non-bornés autoadjoints.

In this thesis in operator theory, we are interested in operators normal, to self-assistant operators, to positive operators, to the absolute value of an operator, with triangular inequality. This thesis revolves around the relationships of the type | AB | = | A || B |, | A || B | = | B || A |, | A ± B | ≤ | A | + | B |. In the first part we provide definitions and elementary notions in operator theory. After this introduction, in this chapter we are interested in bounded positive operators, to the square root of a positive operator, to the value absolute of a bounded operator, and we give results on the triangular inequality and other relations concerning the sum and the product of the absolute value in the case thick headed. In the last chapter, we are interested in the case of unbounded operators. We start first with definitions and primordial properties of unbounded operators, then we give results on the sum and the product of the value absolute in the case of unbounded operators. We provide this part with a few examples. As an interesting consequence, we obtain a characterization of invertibility for the class of unbounded normal operators. We obtain also a very simple proof of the inclusion in R of the spectrum of unbounded self-adjoining operators.