Сегодня практически в любом учебнике по аналитической геометрии есть раздел, посвящённый коническим сечениям. Великий математик древности Евклид когда-то написал сочинение «Начала конических сечений» (к сожалению до нас не дошедшее). Другой великий математик древности Аполлоний Пергский главный труд своей жизни так и озаглавил «Конические сечения». До наших дней сохранились семь из восьми книг этого сочинения. Вопрос конических сечений – кривых второго порядка – с древних времён интересовал человечество. И вопрос этот окончательно не закрыт до сих пор (например, некоторые особенности задачи Аполлония). В настоящей работе мы познакомим читателя с ещё одним взглядом на вопрос конических сечений, который мы назвали «Введение в теорию касательных сфер». Today, almost every textbook on analytic geometry has a section on conical sections. The great mathematician of antiquity Euclid once wrote the essay "Beginnings of Conical Sections" (unfortunately not extant). Another great mathematician of antiquity, Apollonius of Perga, titled the main work of his life "Conical sections". Seven of the eight books of this work have survived to this day. The question of conical sections - curves of the second order - has been of interest to mankind since ancient times. And this question has not yet been completely closed (for example, some features of the Apollonius problem). In this paper, we will acquaint the reader with another look at the issue of conic sections, which we called "Introduction to the theory of tangent spheres".